步进电机-相数、拍数和步距角的相关计算

这里梳理步进电机的相关计算问题。

基本概念

本课程中主要强调了的是磁阻式步进电机。磁阻式步进电机的力矩来源于磁路使磁阻最小的能力。下面是一个四相步进电机的图例。

步进电机分为定子和转子两大部分。定子主要需要注意的是磁极。对于$p$相步进电机，通常定子中有$2p$个绕组，也就是$2p$个磁极。也就是说，绕组数等于磁极数。每一相有两个绕组，位于直径的两端。

磁极表面有均匀分布的小齿。转子上也均匀分布着小齿。但是二者数目不是一一对应的。

齿距角的定义是相邻两齿中心线的夹角，设$Z_r$位转子齿数，有齿距角$\theta_t$

$$\theta _t = \frac{360^{o}}{Z_r}$$

对于转子齿数的规定是，要求转子转动一半时(即转子从同一相的一个磁极转到了同一相的另一个磁极)，定子和转子的齿数相差1。换用课本上的话说，就是

相邻磁极下的定子转子齿之间错开转子齿距角的$\frac{1}{m}$倍。

注意到$m=p$，所以上面两种定义是相同的。写成数学语言便是

$$\frac{Z_r}{2p} = K \pm \frac{1}{m}$$ $$Z_r = 2pK \pm 2$$

因此每一个极距下的转子齿数不是整数。这里正负号通常使转子齿数多一点，即正号。

拍数和步距角

步进电机的控制通常为一个周期$N$个通电状态。在一个周期中，步进电机各绕组的不同通电状态的数量成为拍数。

根据同步电动机的相关知识，每个通电周期之后，步进电机的定子磁场将旋转半周。相应的转子和定子之间的小齿也将在半周内进行同步。因为上面规定了转子和定子齿数的关系，所以每个通电周期转子转过一个齿距角。

步距角的定义是，改变一次通电状态，转过的角度。假设一个通电周期有$N$拍，那么步距角$\theta_b$

$$\theta_b = \frac{\theta_t}{N} = \frac{360^{o}}{Z_rN}$$

常见的通电模式

以四相步进电机为例。常见的通电模式为四相单四拍、四相双四拍、四相八拍。

四相单四拍的通电规律为

$$A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow \dots$$

四相双四拍的通电规律为

$$AB \rightarrow BC \rightarrow CD \rightarrow DA \rightarrow \dots$$

四相八拍的通电规律为

$$A\rightarrow AB \rightarrow B\rightarrow BC \rightarrow C\rightarrow CD \rightarrow D\rightarrow DA \rightarrow \dots$$

其中有拍数和相数的关系

$$N=km$$

$k$的值为1时，称其为单拍制，为2时，称其为双拍制。可以看到，四相单四拍和四相双四拍均为单拍制，而四相八拍为双拍制。

单拍制下，步距角为$\displaystyle \frac{1}{m}$的齿距角，双拍制下步距角为$\displaystyle \frac{1}{2m}$的齿距角。

引入电角度

和之前的电机不同，步进电机中电角度等于转子齿数乘以机械角度，即

$$\theta _e = Z_r\theta$$

那么齿距角应该是

$$\theta_{te} = \frac{360^{o}}{Z_r}Z_r = 2\pi \mathrm{rad}$$

步距角自然是

$$\theta_{be} = \frac{2\pi}{N}$$

研究力矩

转矩是失调角的周期函数，周期为转子的一个齿距角，即$2\pi$rad电角。

单相通电的时候，静态力矩的基波分量为

$$T = -T_m\sin(\theta_e - \theta_{e0})$$

这时的力矩是否为稳定平衡？图中标识了稳定平衡点，这里取了$\theta_{e0}=0$。总之齿正好对齐的时候最稳定。

多相通电的时候，就需要考虑不同相之间的电角差距了。

电角的差距应该和步距角相同，那么在$m$相步进电机$n$相同时通电时，静态转矩应该为

$$\begin{aligned} T &= \sum_{i}^{n}T_i \\ &= T_m\sum_{i=1}^{n}\sin(\theta_e - (i-1)\theta_{be})\\ &= -T_m\frac{\sin\dfrac{n\theta_{be}}{2}}{\sin\dfrac{\theta_{be}}{2}}\sin(\theta_e-\frac{n-1}{2}\theta_{be}) \\ \end{aligned}$$

单拍制下，步距角有公式

$$\theta_{be} = \frac{2\pi}{m}$$

所以最大静转矩为

$$\frac{T_{m(n)}}{T_m} = \frac{\sin{\dfrac{n\pi}{m}}}{\sin\dfrac{\pi}{m}}$$

启动转矩

接下来考虑启动转矩。

正常启动需要让相邻通电状态的合成转矩大于负载转矩。这是因为在正常的通电切换时，不同的通电状态是合成的正弦波，因此力矩最小值通常在切换时取得。

计算启动力矩，需要先得到步距角$\theta_{be}$，因为相邻的磁极的相位差即为步距角。

如果是单相通电，如四相单四拍，那么要考虑的是$\sin(\theta_e)$和$\sin(\theta_e - \theta_{be})$的交点，即

$$T_{start1} = T_m\sin(\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\theta_{be}}{2})$$

其中$\dfrac{\pi}{2}$是因为取最高点后面的第一个交点，二分之一的步距角是两个三角函数的交点距离最高点的相位差。

如果是双相通电，如四相双四拍，那么就要考虑两项通电时候的合成磁场。

$$T_{AB} = -T_m(\sin(\theta_e) + \sin(\theta_e - \theta_{be}))$$ $$T_{BC} = -T_m(\sin(\theta_e - \theta_{be}) + \sin(\theta_e - 2\theta_{be}))$$

为了取交点，让$T_{AB}=T_{BC}$，得到

$$\sin(\theta_e) = \sin(\theta_e - 2\theta_{be})$$

通常让$\theta_e$在$[0,\pi]$区间中，得到$\theta_e = \pi$

那么将该数值带进$T_{AB}$得到$T_m$，即为启动转矩。

如果是四相八拍，这时候注意步距角发生了变化，但是计算的步距角依然采取的是单拍的步距角。同样是进行合成

$$T_{A} = -T_m\sin(\theta_e)$$ $$T_{AB} = -T_m(\sin(\theta_e) + \sin(\theta_e - \theta_{be}))$$

令它们相等得到$\sin(\theta_e - \theta_{be}) = 0$，可以取$\theta_e = \dfrac{\pi}{2}$，得到起动转矩为$T_m$。

这里问题是步距角为什么取的是单拍的步距角？很简单，因为磁极的物理结构要求的偏差为$\dfrac{2\pi}{m}$，正好是单拍的步距角。所以这里的步距角其实是磁极的相位差，数值上等于单拍步距角而已。这个数值的来历是$\dfrac{2\pi}{m} \times m = 2\pi$，即经过$m$个磁极后相角相差$2\pi$，也就是相差一个齿！这正是上文的要求。

对于五相步进电机，上面求得的电角度分别是$0.7\pi$，$0.9\pi$，$0.8\pi$，求得到的转矩分别为$0.81T_m$，$1.30T_m$，$1.54T_m$。

感想

步进电机的原理很简单，但是计算题想要算对算好还是需要扣细节的。

题外话

我写这篇笔记是因为我上课没听，而同时把这些角度全部搞混了，所以写不来作业题。很惭愧，上课摸鱼了造成这个悲剧…

如果以后接着上课摸鱼，恐怕需要摸出来许许多多的课程笔记…

还有其他的知识点我没有写，因为作业里没有。遇到了再整理。

图片来源

本文图片来自《自动控制元件及线路》，系本课程课本。如有侵权我会及时删除。