数理方程复习-数学物理中的偏微分方程

这里是为了应付数理方程期末考试而把整本书的重要公式抄写一遍的笔记。

导入

这里首先研究两个偏微分问题

在不考虑任何附加条件下，下面两个方程

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y} = 0$$ $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

分别可以解得

$$u=f(x) + g(y),f,g\text{为任意一次可微函数}$$ $$u=f(x+at) + g(x-at),f,g\text{为任意一次可微函数}$$

其中后者的证明使用到了$\xi = x+at, \zeta = x-at$进行变量代换。

研究的三种方程

波动方程

$$\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = a^2 \Delta_3 u + f(t,x,y,z)$$

如果考虑物理意义，则

$$a=\sqrt{\frac{T}{\rho}}, f = \frac{g}{\rho},g\text{为外力代表的函数}$$

热传导方程

$$\frac{\partial u}{\partial t} = a^2 \Delta_3 u + f(t,x,y,z)$$

如果考虑物理意义，则

$$a=\sqrt{\frac{k}{c\rho}}, f = \frac{g}{c\rho},g\text{为代表热源的函数}$$

泊松方程

$$\Delta_3 u = f(x,y,z)$$

定解条件

定解条件是初始条件和边界条件的总称。假设该函数为$u(t,M)$，$M$为空间坐标。

初始条件

初始条件是指过程发生的初始状态，即条件

$$u(t_0, M) = \varphi(M)$$ $$u_t(t_0, M) = \psi(M)$$

通常取$t_0=0$，但不是强制要求。

边界条件

边界条件是指过程在边界上的状态。通常有如下形式

$$\left.\left(\alpha \frac{\partial u}{\partial n} + \beta u \right)\right|_S = \varphi (x,y,z)$$

某些问题中也可以取$\varphi(t,x,y,z)$，比如强迫振动问题。

在$\alpha, \beta$不同取值时，通常问题的解答有所不同。

只有$\alpha = 0$时，条件变成$\beta u = \varphi$，称为Dirichlet条件，对应的问题称为第一边值问题。

只有$\beta = 0$时，条件变成$\alpha u_t = \varphi$，称为Neumann条件，对应的问题称为第二边值问题。

$\alpha,\beta$均不为零时，称为Robin条件，对应的问题称为第三边值问题。

混合条件

混合条件就是指一个问题即具有初始条件，又具有边界条件。

达朗贝尔公式

对于一维无界波动方程的初值问题，我们可以直接求出它的全解。

该问题的数学描述为

$$\begin{cases} \displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} (x\in \mathrm{R}, t > 0)\\ u(0,x) = \varphi(x) , u_t(0,x) = \psi(x) ,x\in\mathrm{R} \end{cases}$$

则它的解为

$$\newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} u(t,x) = \frac{1}{2}\left(\varphi(x-at)+\varphi(x+at)\right) + \frac{1}{2a}\int^{x+at}_{x-at}\psi(\xi)\d\xi$$

叠加原理

如果我们记二阶线性微分算子

$$L= \sum^n_{i, j = 1}a_{ij}\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial y_i} + 2\sum^n_{i=1}b_i\frac{\partial}{\partial x_i} + c$$

设有一个函数$u=\sum_{i=1}^{n}c_iu_i$，可以得到如下性质

1. 若$Lu_i = f_i$，则$Lu = \sum_{i=1}^{n}c_if_i$。
2. 若$Lu_i = f_i$，而且$n\rightarrow +\infty$通常的问题中可以认为$Lu = \sum_{i=1}^{+\infty}c_if_i$。

3. 若

   $$Lu = f(M,M_0)$$ $$\newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} U(M) = \int_V u(M, M_0)\d M_0$$

   可以认为

   $$\newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} LU(M) = \int_V f(M,M_0)\d M_0$$

   上式可以解释为L和积分号可以交换

通常上文性质需要考虑过程的条件，但是本次考试中无需这么谨慎。

齐次化原理/冲量原理

齐次化原理，又名冲量原理，是用来解决一些非齐次的初始问题的方法。通常有两种形式，分别解决波动方程和热传导方程。

齐次化形式一

$$\begin{cases} \displaystyle\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = Lu + f(t, M),(M\in \mathrm{R}^3, t>0) \\ u|_{t=0} = 0,u_t|_{t=0} = 0\\ \end{cases}$$

这种问题可以先求一个对应的方程$\omega(t,M;\tau)$

$$\begin{cases} \displaystyle\frac{\partial ^2 \omega}{\partial t^2} = Lu,(M\in \mathrm{R}^3, t>\tau) \\ \omega|_{t=\tau} = 0,\omega_t|_{t=\tau} = f(\tau, M)\\ \end{cases}$$

有什么区别？这里将$f(t,M)$转化到了初始条件上，这个新的方程通常解法是达朗贝尔公式。

那么问题的解为

$$\newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} u=\int^t_0\omega(t, M; \tau)\d \tau$$

齐次化形式二

$$\begin{cases} \displaystyle\frac{\partial u}{\partial t} = Lu + f(t, M),(M\in \mathrm{R}^3, t>0) \\ u|_{t=0} = 0\\ \end{cases}$$

这种问题可以先求一个对应的方程$\omega(t,M;\tau)$

$$\begin{cases} \displaystyle\frac{\partial \omega}{\partial t} = L\omega,(M\in \mathrm{R}^3, t>0) \\ u|_{t=\tau} = f(\tau, M)\\ \end{cases}$$

新的方程通常解法是进行变量代换$\xi = x+at, \zeta = x-at$。

那么问题的解为

$$\newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} u=\int^t_0\omega(t, M; \tau)\d \tau$$

其他

因为时间问题，后面的章节没有通过这种方式整理了。期末考试考了99分，挺好。