数理方程复习-分离变量法

分离变量法通常适用于条件齐全的混合问题。齐次方程的分解较为容易，非齐次方程的求解需要更多的处理。

基本步骤

第一步：分离变量。根据变量的多少进行变量的分离

$$u(t,x) = X(x)T(t)$$ $$u(t,x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z)T(t)$$

以如下问题为例完成基本步骤的讲解：

$$\begin{cases} \displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, (x \in (0,l), t > 0) \\ u(t,0) = u(t,l) = 0 \\ u(0,x) = \varphi(x),u_t(0,x) = \psi(x) \end{cases}$$

将上面的 $ u(t,x) = X(x)T(t) $带入方程得到

$$\frac{T^{''}(t)}{a^2T(t)} = \frac{X^{''}(x)}{X(x)} = -\lambda$$

其中$\lambda$是我们设定的值，称为固有值。我们会根据给出的条件，确定固有值的所有可能取值，从而得到相应的固有函数。因为初始条件和边界条件的存在，固有值一般不会是全体实数，那么固有函数系通常是可数的，方程的解也就可以表示成级数形式。

第二步：解固有值问题

根据条件的多少确定从哪个变量中求解出固有值的取值。通常是从边界条件入手，即

$$\begin{cases} X^{''}(x) + \lambda X(x) = 0, (x \in (0, l)) \\ X(0) = X(l) = 0 \\ \end{cases}$$

分三种情况讨论：$\lambda > 0, \lambda < 0, \lambda = 0$。许多问题都会让你错在$\lambda = 0$的情况上。所以实际解题的时候必须将三种情况全部讨论完全，防止漏解。

本问题中得到的解为

$$\lambda = \left(\frac{n\pi}{l}\right)^2, n = 1,2,\dots$$ $$X_n(x) = B_n \sin\frac{n \pi x}{l}$$

将固有值带入$T$的常微分方程中，有

$$T_n(t) = C_n \cos \frac{n \pi at}{l} + D_n \sin \frac{n \pi at}{l}$$

所以求得上式的解为

$$u_n(t,x) = X_n(x)T_n(t) = \left(C_n \cos \frac{n \pi at}{l} + D_n \sin \frac{n \pi at}{l}\right)\sin\frac{n \pi x}{l}$$

第三步，将上述解进行级数叠加

$$u(t,x)=\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(t,x) =\sum_{n=1}^{+\infty} \left(C_n \cos \frac{n \pi at}{l} + D_n \sin \frac{n \pi at}{l}\right)\sin\frac{n \pi x}{l}$$

第四步，利用初始条件确定系数

$$C_n = \frac{\left<\varphi(x), u_n(0,x)\right>}{\left<u_n(0,x), u_n(0,x)\right>}$$

这里实际上就是傅里叶展开后求出系数的过程。分母上是项的大小，即项和自己的内积。分子上是条件给定的函数和项的内积。它们的比值则确定了系数的大小。

这里我们看到的是很常见的展开系，它对应的内积是

$$\newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \left<f, g\right> = \int^{l}_{0} f(x)g(x)\d x$$

后面复习的施刘定理将确定任何可行的固有函数系的内积关系。

极坐标系下$\Delta_2 u = 0$的边值问题

问题的形式为

$$\Delta_2 u = \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} = 0$$

令

$$u(r,\theta) = R(r)\Theta (\theta)$$

带入得到

$$r^2 R^{''}(r) + rR^{'}(r) - \lambda R(r) = 0$$

和关于$\Theta(\theta)$的固有值问题

$$\begin{cases} \Theta^{''}+\lambda \Theta = 0 \\ \Theta(\theta) = \Theta(\theta + 2\pi) \end{cases}$$

通常还会根据题目条件进一步限定上述方程的条件。

下面只给出最一般情况下的解。注意到$R(r)$的方程是一个欧拉方程，做代换$t=\ln r$即可求解。我们得到了如下的通解

$$u(r,\theta) = A_0 + B_0\ln r + \sum_{k = 1}^{+\infty}(A_kr^k + B_kr^{-k})(C_k \cos k \theta + D_k \sin k \theta)$$

在问题限定范围比较宽的时候可以直接使用，否则需要重新进行分离变量将上述问题求解。

施刘定理

施刘定理的作用

1. 推导出固有函数和固有值的相关性质
2. 是固有函数和固有值的形式能够多样化，不局限于先前的三角函数系
3. 得到固有函数系的内积

施刘定理的具体形式

假设有方程

$$b_0(x)y^{''}(x) + b_1(x)y^{'}(x) + b_2(x)y(x) + \lambda y(x) = 0$$

取函数$\rho(x)$满足关系式

$$\newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \rho(x) = \frac{1}{b_0(x)}\exp\left\{\int\frac{b_1(x)}{b_0(x)}\d x\right\}$$

其中的不定积分一般取最简的函数形式，或者使$\rho(x)$最简的函数形式。

那么有性质

$$\left(\rho(x)b_0(x)\right)^{'} = \rho(x)b_1(x)$$

这个性质将在接下来的操作中发挥作用。

在原方程的两边同乘$\rho(x)$，可以得到

$$\left[\rho(x)b_0(x)y^{'}(x)\right]^{'} + b_2(x)\rho(x)y^{'}(x) + \lambda\rho(x)y(x) = 0$$

为了简化方程，令$k(x)=\rho(x)b_0(x), -q(x) = b_2(x)\rho(x)$，有

$$\left[k(x)y^{'}(x)\right]^{'} -q(x)y^{'}(x) + \lambda\rho(x)y(x) = 0$$

施刘定理成立的五种边界条件

取边界点为$a,b$

当$k(a) >0$时，应当有三种边界条件能够使下列两个式子满足先前复习过的第一、第二、第三边界条件

$$\alpha_1 y^{'}(a)- \beta_1 y(a) = 0$$ $$\alpha_2 y^{'}(a)+ \beta_2 y(a) = 0$$

第一边界条件：只有$\alpha = 0$。
第二边界条件：只有$\beta = 0$。
第三边界条件：$\alpha,\beta$均非零。

这里因为引入了两种符号，所以可以直接认为$\alpha,\beta$都是非负的。

如果更有$k(a)=k(b) > 0$,那么还应该加上附加周期性条件

$$y(a) = y(b)$$ $$y^{'}(a) = y^{'}(b)$$

如果有$k(a) = 0$，可以证明有一个解$y_1(x)$在$x=a$附近无界。那么必须加上附加条件

$$|y(a)|< +\infty$$

施刘定理认为的固有值性质

1. 可数性：固有值可以和自然数集一一对应
2. 非负性：固有值都是非负的值。固有值为零，当且仅当$q(x)\equiv 0$，不能取第一、三类边界条件、固有函数为常数时成立。
3. 正交性：固有函数系有如下的正交关系 $$\int^b_a\rho(x)y_m(x)y_n(x)\mathrm{d}x = 0, m \neq n$$ 这也定义了固有函数系的内积关系
4. 完备性。

施刘定理最常见的用法

求内积

$$\left<y_m(x), y_n(x)\right> = \int^b_a\rho(x)y_m(x)y_n(x)\mathrm{d}x$$

非齐次情形下问题的求解

固有函数方法

固有函数方法的思路是把非齐次问题分离出来。

下面就是一个非齐次问题

$$\begin{cases} u_{tt} = a^2 u_{xx} + f(t,x) \qquad (t > 0, x \in (0, l)) \\ u(t, 0) = u(t, l) = 0 \\ u(0, x) = \varphi(x) ,u_t(0,x) = \psi(x) \\ \end{cases}$$

做分解

$$u = w + v$$

满足

$$\begin{cases} v_{tt} = a^2 v_{xx} \qquad (t > 0, x \in (0, l)) \\ v(t, 0) = v(t, l) = 0 \\ v(0, x) = \varphi(x) ,v_t(0,x) = \psi(x) \\ \end{cases}$$ $$\begin{cases} w_{tt} = a^2 w_{xx} + f(t,x) \qquad (t > 0, x \in (0, l)) \\ w(t, 0) = w(t, l) = 0 \\ w(0, x) = 0,w_t(0,x) = 0 \\ \end{cases}$$

$v$的方程之前讨论过解法。对于$w$的方程，有方法如下

做出齐次方程的固有函数系，如

$$\lambda_n = \left(\frac{n \pi}{l}\right)^2, n = 1, 2, \dots$$ $$X_n(x) = \sin \frac{n \pi x}{l}$$

同时将$f(t,x),w(t,x)$进行展开

$$w(t,x) = \sum_{n=1}^{+\infty}T_n(t)\sin \frac{n \pi x}{l}$$ $$f(t,x) = \sum_{n=1}^{+\infty}f_n(t)\sin \frac{n \pi x}{l}$$

由相关的展开知识，这里的系数是

$$\newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} f_n(t) = \frac{2}{l}\int^{l}_0f(t,x) \sin \frac{n \pi x}{l}\d x$$

代入方程即可得到我们需要的方程系

$$\begin{cases} T^{''}_n(t) + \lambda_n a^2 T_n(t) = f_n(t)\\ T_n(0) = T_n^{'}(0) = 0 , n = 1, 2, \dots \\ \end{cases}$$

使用拉普拉斯变换的方法可以解这个二阶常系数非齐次微分方程。

特解法

特解法是一种省略上述展开的方法。主要观点是，在$f(t,x)$足够简单，以至于$w(t,x)$的函数形式你可以直接口算出来，那么就不用展开了。作业题中有实例，这里不展开讲述。

齐次化原理

虽然与第一章相比时，这里的问题多出来了边界条件，但是齐次化原理依然能够正常使用。

第一步依然是令$u=v+w$，这里求解$w$的方法就可以使用齐次化原理。比如

$$\begin{cases} \omega_{tt} = a^2 \omega_{xx} \qquad (t > 0, x \in (0, l)) \\ \omega(t, 0) = \omega(t, l) = 0 \\ \omega(\tau , x) = 0, \omega_t(\tau,x) = f(\tau, x) \\ \end{cases}$$

则问题的解为

$$\newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} w(t,x) = \int^t_0 \omega(t,x; \tau)\d \tau$$

使用起来还是比较简便的，就是计算比较困难。

一般非齐次混合问题

这里处理的问题是边界条件也是非齐次的混合问题，比如边界条件是$u(t,0)=0,u(t,l)=\sin \omega t$。

通常的做法是取$v(t,x) = A(t)x + B(t)$或者$v(t,x) = A(t)x^2 + B(t)$将非齐次的边界条件去除。

有的时候，这样处理会得到非齐次方程，有没有办法可以去除非齐次边界条件的同时，不得到非齐次方程呢？

在例题中，有

$$\begin{cases} u_{tt} = a^2u_{xx} (x \in (0,l), t > 0)\\ u(t,0) = 0, u(t, l) = \sin \omega t \\ u(0, x) = 0, u_t(0, x) = 0 \\ \end{cases}$$

使用最简单的思路，我们取

$$v(t,x) = \frac{x}{l}\sin \omega t$$

得到剩下的方程

$$\begin{cases} \displaystyle w_{tt} = a^2w_{xx} + \frac{\omega^2 x}{l}\sin \omega t (x \in (0,l), t > 0)\\ w(t,0) = 0, w(t, l) =0 \\ \displaystyle w(0, x) = 0, w_t(0, x) = -\frac{\omega x}{l} \\ \end{cases}$$

这个问题的求解也需要分两步走，很麻烦我们不喜欢。

所以我们想要的是找到一个$v(t,x)$，既满足边界条件，又能满足齐次化方程，这样就不会有非齐次项。

在这个问题中，我们取

$$v(t,x) = X(x)\sin \omega t,X(0) = 0, X(l)= 1$$

将函数带入原方程，可以得到

$$X(x) = \frac{\sin\displaystyle\frac{\omega x}{a}}{\displaystyle\frac{\omega l}{a}}$$

带入原方程即可继续求解齐次方程。

泊松方程的边值问题

泊松方程通常的解法是，利用对称性将方程化为关于两个变量的偏微分方程，然后利用上文讨论过的方法求解。

比较值得注意的是，如果极坐标的$\theta$可以取遍全空间，我们可以直接使用极坐标系下拉普拉斯方程的一般解

$$u(r,\theta) = A_0 + B_0\ln r + \sum_{k = 1}^{+\infty}(A_kr^k + B_kr^{-k})(C_k \cos k \theta + D_k \sin k \theta)$$