基础数学知识-拉普拉斯变换表

本文整理了常见的拉普拉斯变换形式。并为两种特殊的变换形式进行了简单叙述。

公式

$f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}$	$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}$
$\delta (t)$	$1$
$\varepsilon(t)$	$\displaystyle\frac{1}{s}$
$t\varepsilon(t)$	$\displaystyle\frac{1}{s^2}$
$t^n\varepsilon(t)$	$\displaystyle\frac{n!}{s^{n+1}}$
$ \mathrm{e}^{\alpha t}\varepsilon(t)$	$\displaystyle\frac{1}{s-\alpha}$
$ t\mathrm{e}^{\alpha t}\varepsilon(t)$	$\displaystyle\frac{1}{(s-\alpha)^2}$
$ t^n\mathrm{e}^{\alpha t}\varepsilon(t)$	$\displaystyle\frac{n!}{(s-\alpha)^{n+1}}$
$\sin(\omega t)\varepsilon(t)$	$\displaystyle\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$
$\cos(\omega t)\varepsilon(t)$	$\displaystyle\frac{s}{s^2+\omega^2}$
$\sinh(\beta t)\varepsilon(t)$	$\displaystyle\frac{\beta}{s^2-\beta^2}$
$\cosh(\beta t)\varepsilon(t)$	$\displaystyle\frac{s}{s^2-\beta^2}$
$\mathrm{e}^{\alpha t}\sin(\omega t)\varepsilon(t)$	$\displaystyle\frac{\omega}{(s-\alpha)^2+\omega^2}$
$\mathrm{e}^{\alpha t}\cos(\omega t)\varepsilon(t)$	$\displaystyle\frac{s-\alpha}{(s-\alpha)^2+\omega^2}$

上面都是比较常规的，接下来列举两个奇怪的

若

$$f(t) = 2r\mathrm{e}^{\alpha t}\cos (\omega t + \varphi)\varepsilon(t)$$

则

$$F(s) = \frac{r\mathrm{e}^{j\varphi}}{s-\alpha -j\omega} + \frac{r\mathrm{e}^{-j\varphi}}{s-\alpha +j\omega}$$

若

$$f(t) = \frac{1}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}\mathrm{e}^{-\zeta \omega_n t}\sin(\omega_n\sqrt{1-\zeta^2})t\varepsilon(t)$$

则

$$F(s) = \frac{1}{s^2 + 2\zeta\omega_n s+\omega^2_n}$$

最后两个公式的证明

证明前一个公式，只需要考虑$f(t) = \cos(\omega t + \varphi)$

$$\cos(\omega t + \varphi) = \cos \omega t \cos \varphi - \sin \omega t \sin \varphi$$ $$\begin{aligned} F(s) &=\frac{s}{s^2 + \omega^2} \cos \varphi - \frac{\omega}{s^2+\omega^2}\sin\varphi \\ &= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{s+j\omega} + \frac{1}{s-j\omega}\right)\cos \varphi + \frac{j}{2}\left(\frac{1}{s-j\omega} - \frac{1}{s+j\omega}\right)\sin \varphi \\ &= \frac{1}{2}\frac{\cos\varphi - j \sin \varphi}{s+j\omega} + \frac{1}{2}\frac{\cos\varphi + j \sin \varphi}{s-j\omega} \\ &= \frac{1}{2}\frac{\mathrm{e}^{-j\varphi}}{s+j\omega} + \frac{1}{2}\frac{\mathrm{e}^{j\varphi}}{s-j\omega} \\ \end{aligned}$$

两边同乘以$2r$，再时移即可。

后一个公式成立于$\zeta < 1$的情况下。可以由$\sin(\omega t)$进行时移后得到，不用单独证明。