基础数学知识-Gamma函数和Beta函数

由于在各种数学实践中出现了基础知识遗漏的问题，这里将需要着重记忆的数学知识再次回顾。

Gamma函数

$\Gamma(x)$，Gamma函数，通常被解释为阶乘的延拓。该函数在许多数学领域中均有重要的作用。

在实数域上，定义为

$$\newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \Gamma (x) = \int_0^{+\infty}t^{x-1}\e^{-t}\d t(x > 0)$$

复数域上，可以延拓为

$$\newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \Gamma (z) = \int_0^{+\infty}t^{z-1}\e^{-t}\d t (\mathrm{Re}(z) > 0)$$

通过变换，可以得到另一种表达方式

$$\newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \Gamma (x) = 2\int_0^{+\infty}t^{2x-1}\e^{-t^2}\d t$$

通常使用的特殊值为

$$\Gamma(1) = 1, \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$$

通常我们需要记忆Gamma函数的如下性质：

$$\newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$$

这个是Gamma函数作为阶乘延拓的主要性质。

$$\newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} B(m,n) = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$$

我们还常见一个公式，称为余元公式

$$\newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \Gamma(1-x)\Gamma(x) = \frac{\pi}{\sin \pi x}$$

在概率论、数理统计和随机过程这些课程中，我们还接触了Gamma分布，它有如下的概率密度函数

$$\newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} f(X) = \frac{X^{\alpha - 1}\lambda^{\alpha}\e^{-\lambda X}}{\Gamma(\alpha)}$$

Beta函数

Beta函数称为欧拉第一积分，有如下定义

$$\newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} B(m,n)=\int^1_0x^{m-1}(1-x)^{n-1}\d x$$

积分成立的条件是$\mathrm{Re}(m)>0,\mathrm{Re}(n)>0$。

Beta函数性质

$$\newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} B(m,n) = B(n,m)$$ $$\newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} B(s,1-s) = \int_0^{+\infty}\frac{x^{s-1}}{1+x}\d x = \Gamma(s)\Gamma(1-s) = \frac{\pi}{\sin s\pi}$$ $$\newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \int^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^{p}\theta\cos ^{q}\theta \d \theta = \frac{1}{2}B(\frac{p+1}{2}, \frac{q+1}{2})$$

最常见的性质还是Beta函数和Gamma函数的转化，然后可以根据Gamma的阶乘性质化简成阶乘或双阶乘的形式。

$$\newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} B(m,n) = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$$

总结

在工科学习过程中，主要掌握的性质集中于计算方面。限于时间问题，上述性质均未在本文中得到证明。以上。