电磁学C复习-电学部分

本文章是作者在学习电磁学时进行期中复习时做出的笔记。

第一章

电荷守恒定律

$$\newcommand{\oiint}{\subset\kern{-3pt}\supset\kern{-16.5pt}\iint} \oiint_S \vec{j}\cdot\text{d}\vec{s} = -\frac{\partial}{\partial t} \iiint_V \rho \cdot \text{d}V$$

即

$$\nabla \cdot \vec{j} = -\frac{\partial \rho}{\partial t}$$

库仑定律

$\vec{F}_{12}$为2对1的作用力，有

$$\vec{F}_{12} = k\frac{q_1q_2}{r_{12}^2}\vec{e_r}$$

同时满足牛顿第三定律

$$\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$$

其中

$$k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}, \varepsilon_0 = 9\times 10^9 Nm^2/C^2$$

矢量操作

矢量分解

$$\vec{A} = (\vec{A} \cdot \vec{n})\vec{n} + \vec{n} \times (\vec{A} \times \vec{n})$$

运算方法

$$\nabla = \vec{e}_x \frac{\partial}{\partial x} + \vec{e}_y \frac{\partial}{\partial y} + \vec{e}_z \frac{\partial}{\partial z}$$

矢量微元

直角坐标系

$$\text{d} \vec{l} = \text{d} x\vec{x} + \text{d} y\vec{y}+ \text{d} z\vec{z}$$ $$\text{d} \vec{S}_x = \text{d} y \text{d} z \vec{x}$$ $$\text{d} \vec{S}_y = \text{d} z \text{d} x \vec{y}$$ $$\text{d} \vec{S}_z = \text{d} x \text{d} y \vec{z}$$ $$\text{d} {V} = \text{d} x\text{d}y\text{d}z$$

柱坐标系

$$\text{d} \vec{l} = \text{d}r\vec{r} + r\text{d}\varphi\vec{\varphi} + \text{d} z\vec{z}$$

球坐标系

$$\text{d} \vec{l} = \text{d}R\vec{r} + R\text{d}\theta \vec{\theta} + R\sin \theta \text{d} \varphi \vec{\varphi}$$

叠加原理

$$F_i = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}q_i \sum_{j=1, i\neq i}^{N}\frac{q_j}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r_j}|^3}(\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r_j})$$

电荷密度

$$\rho = \frac{\Delta q}{\Delta V}$$ $$\sigma = \frac{\Delta q}{\Delta S}$$ $$\lambda = \frac{\Delta q}{\Delta l}$$

带电体之间的作用力

$$F_{12} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\iiint_{V_1}\iiint_{V_2}\frac{\rho_1(\boldsymbol{r_1})\rho_2(\boldsymbol{r_2})}{|\boldsymbol{r_2} - \boldsymbol{r_1}|^3}(\boldsymbol{r_2} - \boldsymbol{r_1})\text{d}V_1\text{d}V_2$$

电偶极子

电偶极矩$\boldsymbol{p}$，大小为$p=ql$，方向由负电荷指向正电荷。

设$\boldsymbol{n}$是$\boldsymbol{r}$方向的单位矢量，则有

$$\vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{3\vec{n}(\vec{p}\cdot\vec{n})-\vec{p}}{r^3}$$

电通量

$$\Delta \Phi = \vec{E}\cdot \Delta \vec{S}$$ $$\Phi_E = \iint_S \vec{E}\cdot \text{d} \vec{S}$$

开曲面：凸侧一方的方向的外法线方向为正
闭曲面：外法线方向为正，内法线方向为负

电通量满足叠加原理，是标量。

立体角

$$\Omega = \frac{S_r}{r^2}$$

静电场的高斯定理

$$\oiint_S \vec{E}\cdot \text{d}\vec{S} = \frac{1}{\varepsilon_0}\sum^{N}_{i=1}q_i^{in}$$

对连续分布的电荷

$$\oiint_S \vec{E}\cdot \text{d}\vec{S} =\frac{1}{\varepsilon_0}\iiint_V\rho \text{d} V$$

由数学公式推导得到

$$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

环量

$$\oint_L\boldsymbol \cdot \text{d}\boldsymbol{L}$$

静电场的环路定理

$$\oint_L \vec{E}\cdot\text{d}\vec{l} = 0$$

由数学公式推导得到

$$\nabla \times \vec{E} = 0$$

电势能

$$W_P = q_0 \int^{\infty}_P\vec{E}\cdot \text{d}\vec{l}$$

电势差

$$U_{PQ} = \int^{Q}_{P}\vec{E}\cdot\text{d}\vec{l}$$

电势

$$U_P = \int^{\infty}_{P} \vec{E}\cdot\text{d}\vec{l}$$

电势满足叠加原理，电势是标量。

$$U(\boldsymbol{r}) = \sum_{i}U_i(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i}\frac{q_i}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_i|}$$

点电荷电势

$$U(r) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$$

带电体电势

将$\displaystyle\frac{\text{d}q}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{‘}|}$ 转化成体、面、线电荷元积分即可。

电场强度和电势的关系

$$\vec{E} = -\nabla U$$

即

$$E_x = -\frac{\partial U}{\partial x}, E_y = -\frac{\partial U}{\partial y}, E_z = -\frac{\partial U}{\partial z}$$

泊松方程

$$\nabla^2 U = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

电偶极子电势分布和电场分布

$$U(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r}}{r^3}$$ $$E(\boldsymbol{r}) = -\frac{\boldsymbol{p}}{4\pi\varepsilon_0 r^3} + \frac{3(\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{r})}{4\pi\varepsilon_0r^5}\boldsymbol{r}$$

第二章

电阻率

$$\rho = \frac{RS}{l}$$

静电平衡

导体内部电场强度处处为零。

静电平衡时内部电荷按照指数衰减

$$\rho(t) = \rho_0\text{e}^{-t/\tau}$$

静电屏蔽

腔外不影响腔内，腔内影响腔外。对地接空腔，内外不影响。

电荷系统在静电场中的受力问题

$E=E_t-E_1$，分别为外场，总电场，和受力带电体的电场。

体电荷$E_1(r) = \rho_e r/(3\varepsilon_0) \rightarrow 0$
面电荷$E_1 = \pm \sigma_e / (2\varepsilon_0)$
线电荷$E_1 = \lambda_e / (2\pi\varepsilon_0 r) \rightarrow \infty$

电偶极子在外电场中的受力问题

$$\boldsymbol{F} = (\boldsymbol{p}\cdot \nabla)\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})$$

力矩参考点为电偶极子中点

$$\boldsymbol{L} = \boldsymbol{p}\times \boldsymbol{E}$$

常见电容器

球体电容器

$$C = 4\pi\varepsilon_0R$$

平行板电容器

$$C=\varepsilon_0S/d$$

球形电容器

$$C=4\pi\varepsilon_0\frac{R_AR_B}{R_B-R_A}$$

同轴圆柱形电容器

$$C=\frac{2\pi\varepsilon_0L}{\ln R_B/R_A}$$

极化强度矢量

Definition: 单位体积内分子电偶极矩矢量和

$$\vec{P} = \lim_{\Delta V\rightarrow 0}\frac{\sum \vec{p}_i}{\Delta V}$$

平衡时有

$$\vec{E} = \vec{E}_0 + \vec{E}^{'}$$

电荷的分布情况

极化电荷

$$\nabla \cdot \boldsymbol{P} = -\rho^{'}$$

边界上

$$\sigma ^{'} = -(\boldsymbol{P}_2 - \boldsymbol{P}_1) \cdot \boldsymbol{n}$$

极化强度与电场的关系

各向同性电介质中

$$\boldsymbol{P} = \chi_e\varepsilon_0\boldsymbol{E}$$

$\chi_e$为电极化率，$\boldsymbol{E}$为极化后的总电场。

$$\varepsilon_r \equiv 1 + \chi_e$$

电介质中静电场高斯定理

定义电位移矢量

$$\boldsymbol{D} = \varepsilon_0\boldsymbol{E} + \boldsymbol{P}$$

则有

$$\oiint_S \boldsymbol{D} \cdot \text{d}\boldsymbol{S} = \sum_{S}q_0$$

而且

$$\boldsymbol{D} = \varepsilon_0\boldsymbol{E} + \boldsymbol{P} = \varepsilon_0\boldsymbol{E} + \chi_e\varepsilon_0\boldsymbol{E} = \varepsilon_r\varepsilon_0\boldsymbol{E} = \varepsilon\boldsymbol{E}$$

写成连续形式也可以，将$q_0$换成$\iiint_V \rho_0\text{d}V$即可。

同时有微分形式

$$\nabla \cdot \boldsymbol{D} = \rho_0$$

介质中静电场仍然是一个无旋的保守场。

交界面无自由电荷，D线连续，E线通常不连续。

电介质交界面上的物理量

交界面上的电场强度切向分量总是相等的。

交界面上的电位移矢量有如下关系

$$D_{2n} - D_{1n} = \sigma_0$$

无自由电荷时，交界面的电位移矢量连续。

即

$$(\boldsymbol{D}_2 - \boldsymbol{D}_1)\cdot \boldsymbol{n} = \sigma_0$$ $$(\boldsymbol{P}_1 - \boldsymbol{P}_2)\cdot \boldsymbol{n} = \sigma^{'}$$ $$(\boldsymbol{E}_2 - \boldsymbol{E}_1)\cdot \boldsymbol{n} = \sigma/\varepsilon_0$$

交界面上的电势总是连续的。

介质中静电场基本方程

高斯定理

$$\oiint_S\vec{D}\cdot\text{d}\vec{S} = \sum_Sq_0$$

本构方程

$$\vec{D} = \varepsilon_r\varepsilon_0\vec{E}$$

环路定理

$$\oint_L\vec{E}\cdot\text{d}\vec{l}= 0$$

边值条件，上一节

介质界面与电场线重合

电场强度连续

介质表面与等势面重合

电位移矢量连续，且相当于真空中的情况，即

$$\boldsymbol{D} = \varepsilon_r\varepsilon_0\boldsymbol{E} = \varepsilon_0\boldsymbol{E}_0$$

第二个等号由连续性得到，相当于延伸到真空的情况。

电场的能量

N个点电荷体系

$$W_{\text{互}} = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}W_i = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}q_iU_i$$

其中

$$U_i = \sum_{j=1,i\neq j}^{N}U_{ji} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{j =1, i\neq j}^{N}\frac{q_j}{r_{ij}}$$

一个点电荷的电势能为

$$W_i = q_iU_i$$

体电荷分布自能

$$W_e = \frac{1}{2}\iiint_V\rho(\boldsymbol{r})U(\boldsymbol{r})\text{d}V$$

面电荷分布自能

$$W_e=\frac{1}{2}\iint_S\sigma(\boldsymbol{r})U(\boldsymbol{r})\text{d}S$$

线电荷不能求自能

空间电势能

空间总电势为

$$U(\boldsymbol{r}) = U_i(\boldsymbol{r}) + U^{(i)}(\boldsymbol{r})$$

$U_i$：除第i个带电体外所有其他带电体在r产生的电势
$U^{(i)}$：第i个带电体在r处产生的电势

总电势能

$$W_e = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\iiint_V\rho(\boldsymbol{r})U(\boldsymbol{r})\text{d}V \\ = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\iiint_V\rho(\boldsymbol{r})U^{(i)}(\boldsymbol{r})\text{d}V + \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\iiint_V\rho(\boldsymbol{r})U_i(\boldsymbol{r})\text{d}V$$

即

$$W_{\text{静}} = W_{\text{自}} + W_{\text{互}}$$

互能可以当成点电荷处理。

孤立带电球体的自能

$$W_{\text{自}} = \frac{4\pi\rho^2R^5}{15\varepsilon_0}$$

带电导体的静电能

带电导体电荷分布在外表面

$$W_e = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\iint_S\sigma U\text{d}S = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}q_iU_i$$

电偶极子的静电能

$$W = -\vec{p} \cdot\vec{E}$$

所以p平行于外场且指向外场方向时，能量最低。

电容器的能量

$$W_e = \frac{1}{2}QU$$

其中U为电势差

电介质存在时带电系统的静电能

静电能时建立自由电荷分布所需要的外界做功，但是电势U包括了所有电荷的贡献

$$W_e = \frac{1}{2}\iiint_V\rho_0(\boldsymbol{r})U(\boldsymbol{r})\text{d}V$$

宏观静电能

若

$$\rho({\boldsymbol{r}})=\rho_0({\boldsymbol{r}}) + \rho^{'}(\boldsymbol{r})$$

定义宏观静电能

$$W_{e0} = \frac{1}{2}\iiint_{V_0}\rho_0(\boldsymbol{r})U(\boldsymbol{r})\text{d}V + \frac{1}{2}\iiint_{V^{'}}\rho({\boldsymbol{r}})U(\boldsymbol{r})\text{d}V$$

为建立宏观电荷分布$\rho_0(\boldsymbol{r}) + \rho^{‘}(\boldsymbol{r})$过程中系统储存的静电能。

静电能时在建立该状态过程中外界对系统所做的功，事实上仅相当于对自由电荷所做的功。在完成自由电荷的分布后，极化电荷自发产生，产生了宏观静电能的概念。

静电能等于宏观静电能加上极化能，即

$$W_e = W_{e0} + W_{\text{极}}$$

计算得到极化能

$$W_{\text{极}} = -\frac{1}{2}\iiint_{V^{'}}\rho^{'}(\boldsymbol{r})U(\boldsymbol{r})\text{d}V$$

电场的能量密度

$$\omega_e = \frac{W_e}{V} = \frac{1}{2}\vec{D}\cdot\vec{E}$$

静电能

$$W_e = \iiint_V\omega_e\text{d}V$$

PPT上用了复杂的方法推导这个关系，但是我很菜，记住就好。

对导体或者真空($\varepsilon = \varepsilon_0$的情况)

$$\omega_e = \omega_{e0} = \frac{1}{2}\varepsilon_0E^2$$

对均匀介质，

$$\omega_e = \omega_{e0} + \omega_{\text{极}} = \frac{1}{2}\varepsilon_0E^2 + \frac{1}{2}\vec{P}\cdot\vec{E}$$

虚功原理

对孤立带点体，若电量Q保持不变，

$$\vec{F}\cdot\text{d}\vec{r} = -(\Delta W)_Q \rightarrow \vec{F} = -\left(\frac{\partial W}{\partial \vec{r}}\right)_Q$$

对非孤立带电体，若电势U保持不变，

$$\vec{F}\cdot\text{d}\vec{r} = (\Delta W)_U \rightarrow \vec{F} = \left(\frac{\partial W}{\partial \vec{r}}\right)_U$$

推导：
对于一个稳定系统，发生虚位移后

$$\text{d}W = \delta A - \delta A^{'}$$

其中$\delta A$为外界电源做功，$\delta A^{‘}$为静电力做功。静电力作功与能量有着功能原理，所以是负号。
在连接外部电源时，有关系$\delta A = 2 \delta A^{‘}$，可以由电容的公式推广得到。

所以自然有了虚功原理的公式。其中的符号也得到了解释。

第三章

电流强度

$$I = \frac{\text{d}Q}{\text{d}t}$$

电流密度

作一单位矢量为电流方向，取一面元$\Delta S_0$与$\boldsymbol{n}_0$垂直，设通过$\Delta S_0$的电流强度为$\Delta I$，则电流密度为

$$\vec{j} = \frac{\Delta I}{\Delta S_0}\vec{n}_0$$

所以通过任意有限截面$S$的电流强度为

$$I = \iint_S\vec{j}\cdot\text{d}\vec{S}$$

电流密度的微观图像

导体中有k种带电粒子，其中第i种带电粒子的电量、带电粒子数密度、平均速度为$q_i, n_i, \boldsymbol{\bar{u}}_i$

则

$$\vec{j} = \sum_{i=1}^{N}q_in_i\boldsymbol{\bar{u}}_i$$

注意到$q_in_i = \rho_i$，有

$$\vec{j} = \sum_{i=1}^{N}\rho_i\boldsymbol{\bar{u}}_i$$

电流连续性方程

$$\oiint_S \vec{j}\cdot \text{d}\vec{S} = -\iiint_V \frac{\partial \rho}{\partial t}\text{d} V = -\frac{\text{d} q}{\text{d} t}$$

即

$$\nabla \cdot \vec{j} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$$

稳恒条件

稳恒电流的闭合性；电荷的分布不因电流的存在而随时间变化，产生的电场不随时间变化。

电流线或者电流是闭合的，不可能有起点或者终点。
沿任一电流管的各截面电流强度都相等。

欧姆定律

$$I=\frac{U}{R} = GU, U = IR$$ $$R= \rho\frac{l}{S}, G=\sigma\frac{S}{l}$$

欧姆定律的微观形式

$$\vec{j} =\sigma\vec{E},\vec{E} = \rho\vec{j}$$

可以用之求解电阻，一般地，可以用

$$R=\int\rho\frac{\text{d}l}{S}$$

和/即

$$R = \frac{U}{I} = \frac{\int \vec{E}\cdot \text{d}\vec{l}}{I} = \frac{\int \rho \vec{j}\cdot\text{d}\vec{l}}{I}$$

焦耳定律

单位时间内电场做的功，即电流的功率为

$$P_e = \frac{\text{d}A}{\text{d}t} = IU$$

电功率密度定义为

$$p = \frac{P}{V} = \frac{I^2R}{V}$$

利用电流管，证明得到

$$p = \vec{j}\cdot\vec{E} = \frac{j^2}{\sigma} = \rho j^2$$

导电介质问题

基本定理

$$\oint_L \vec{E}\cdot\text{d}\vec{l} = 0$$ $$\oiint_S \vec{j}\cdot \text{d}\vec{S} = 0$$

性能方程

$$\vec{j} = \sigma \vec{E}$$ $$\vec{D} = \varepsilon\vec{E}$$

边界条件

$$\vec{n}\times(\vec{E}_2 - \vec{E}_1) = 0$$ $$\vec{n}\cdot(\vec{j}_2 - \vec{j}_1) = 0$$

参考电介质交界面上的物理量

一般步骤

先根据导电性质求出电场分布，再根据介质性质求出极化的情况。计划性质决定了自由电荷和极化电荷在总电荷中所占的比例，与介电常量有关。

$$\oiint_S \vec{E}\cdot \text{d}\vec{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0} = \frac{Q_0}{\varepsilon}$$

得到

$$\frac{Q^{'}}{Q} = \frac{Q-Q_0}{Q} = \frac{\varepsilon_0 - \varepsilon}{\varepsilon_0}$$

导电介质的电容与电阻

$$C=\frac{Q_0}{\Delta U} = \frac{\varepsilon}{\Delta U}\oiint_S \vec{E}\cdot\text{d}\vec{S}$$ $$\frac{1}{R} = \frac{I}{\Delta U} = \frac{\sigma}{\Delta U}\oiint_S \vec{E}\cdot \text{d}\vec{S}$$

得到时间常数

$$\tau = RC = \frac{\varepsilon}{\sigma} = \rho\varepsilon$$

全电路欧姆定律

U为路端电压

$$U = \varepsilon - Ir$$

奇怪电阻回路

假设电流法，对称法，断开节点法

Y——Delta转换

$$R_{12} = \frac{G_1 + G_2 + G_3}{G_1G_2}$$ $$R_{23} = \frac{G_1 + G_2 + G_3}{G_2G_3}$$ $$R_{31} = \frac{G_1 + G_2 + G_3}{G_3G_1}$$ $$G_1 = \frac{R_{12} + R_{23} + R_{31}}{R_{12}R_{31}}$$ $$G_2 = \frac{R_{12} + R_{23} + R_{31}}{R_{12}R_{23}}$$ $$G_3 = \frac{R_{12} + R_{23} + R_{31}}{R_{23}R_{31}}$$